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LA SOLUTION AU COLLIER DE DEMOCRITE

Giorgio Carboni, Mai 1999
Révisé en Février 2009
Traduit par Caroline Varin en Décembre 2010

 



PROBLEME

Déterminez la longueur de la file qu'on peut obtenir quand les atomes d’un grain de sel de table de 1 mm3 sont places les uns à coté des autres.

DONNEES
(d'après le CRC Handbook of Chemistry and Physics)

Densité du sel d(NaCl) = 2,165 g/cm3
Masse atomique du sodium M(Na) = 22,9898 g Masse d'une mole de sodium
Masse atomique du chlore M(Cl) = 35,453 g Masse d'une mole de chlore
Nombre d'Avogadro N = 6,0221 × 10 23 Nombre d'atomes dans une mole

 


SOLUTION N° 1

Cette solution repose sur la densité du sel, la masse d’une mole d’atomes de NaCl et sur le nombre d’Avogadro. On peut alors calculer le nombre d’atomes contenus dans le grain.
A l’aide du nombre d’atomes présents dans le grain et de leur distance interatomique (somme des rayons ioniques), calculez la longueur du collier que vous obtenez en plaçant les atomes cote à cote.

Calcul du nombre d’atomes présents dans le grain de sel:

Masse molaire du sel M(NaCl) = M(Na) + M(Cl)
M(NaCl) = 22,9898 g + 35,453 g
M(NaCl) = 58,4428 g
masse du grain de sel grainmasse = d(NaCl)/1000
grainmasse = 2,165/1000 g
grainmasse = 2,165 × 10 -3 g
Nombre de molécules présentes dans le grain n°molécules = N × grainmasse/M(NaCl)
n°molécules = 6,0221 × 10 23 × 2,165 × 10 -3 / 58,4428
n°molécules = 2,2309 × 10 19
Nombre d'atomes présents dans le grain n°atomes = n°molécules × 2
n°atomes = 2,2309 × 10 19 × 2
n°atomes = 4,4618 × 10 19

 

Calcul de la longueur du collier:

Distance interatomique id = 1 / racine cubique du nombre des atomes présents dans le grain
id = 1 / racine cubique de 4,4618 × 10 19
id = 2,8194 × 10 -7 mm
  id = 2,8194 × 10 -10 m
   
Longueur du collier L = id × nombre d'atomes
L = 2,8194 × 10 -10 m ´ 4,4618 × 10 19
L = 12,58 × 10 9 m
L = 12,58 × 10 6 km

 


SOLUTION N° 2

Si on considère les atomes comme des sphères, à partir du moment où on connait leur diamètre, il est possible de déterminer géométriquement combien de ces sphères sont contenues dans un volume de 1 mm3.

Dans le cristal de sel, les atomes occupant les nœuds d’une maille cubique (les atomes sont aux sommets d’un tout petit cube). Supposons que les atomes soient tous de la même dimension. En effet, l'atome de chlore est deux fois plus gros que celui de sodium, mais cela n’influence pas le résultat. En effet, la distance interatomique reste la même et les nœuds du cristal restent inchangés eux aussi.

Pour réfléchir à cette méthode, faisons l’hypothèse que les atomes ont un diamètre D = 0,1 mm. De cette manière, le nombre d’atomes présents dans un cube d'un mm de côté serait de : 10 x 10 x 10= 1000. En plaçant les 1000 atomes dans une ligne, on calcule la longueur : 1000 x 0,1 = 100 mm.

A partir de cette considération nous pouvons écrire la formule suivante :

L = ls/D × ls/D × ls/D × D

Avec laquelle on obtient:   L = ls3/D2

ls est la longueur du coté du cube (dans notre cas égal à 1 mm) et D est le diamètre moyen des atomes et aussi la distance interatomique.  La fraction ls/D exprime le nombre d'atomes présents le long du coté du cube. Donc, dans une façon très simple, en remplaçant D avec la distance interatomique des atomes dans le sel et en exprimant toutes les dimensions en mm, on obtient:

Longueur du collier: L = ls3/id2
L = 1/(2,8194 × 10 -7 )2 mm
L = 1,258 × 10 13 mm
L = 12,58 × 10 6 km

 


 

CONCLUSION

Le collier de Démocrite mesure environ 12,58 millions de kilomètres! Cette dimension représente plus que 33 fois la distance entre la Terre et la Lune (384,400 km). La longueur de ce collier est donc loin d’être négligeable ! quand Démocrite donna le résultat à Leucippus, il l’étonna. Et je sommes abasourdis également. Abasourdis pas seulement par la dimension du collier, mais surtout et avant tout par la dimension des atomes que je n’avais jamais pensés si petits, et quoi dire du nombre astronomique de ces particules que peut comprendre un grain de sel. La prochaine fois que vous verrez un grain de sel sur la table, prenez le entre vos mains et regardez le pendant un moment: il mérite votre contemplation!
 

--- oOo---

Some information about Leucippus: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Leucippus.ht ml
Some information about Democritus: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Democritus. html
The atomic theory of the matter: http://www.neutron.anl.gov/l eucippus.htm

 


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