LA COLLANA DI DEMOCRITO - SOLUZIONE
G. Carboni, Settembre 1999
PROBLEMA
Determinare la lunghezza della fila che si può ottenere ponendo uno accanto all'altro gli atomi di un granello di sale del volume di 1 mm3.
DATI
| Densità del sale | d(NaCl) = 2,165 g/cm3 |
| Raggio ionico del sodio | ri(Na) = 0.97 Å = 0.97 × 10 -10 m |
| Raggio ionico del cloro | ri(Cl) = 1,81 Å = 1.81 × 10 -10 m |
| Massa atomica del sodio | M(Na) = 22,9898 g |
| Massa atomica del cloro | M(Cl) = 35,453 g |
| Numero di Avogadro | N = 6,02252 × 10 23 |
SOLUZIONE N° 1
Calcolo del numero di atomi del granello di sale:
| grammomolecola di sale | M(NaCl) = M(Na) + M(Cl) |
| M(NaCl) = 22,9898 g + 35,453 g | |
| M(NaCl) = 58,4428 g | |
| massa del granello di sale | massagranello = d(NaCl)/1000 |
| massagranello = 2,165/1000 g | |
| massagranello = 2,165 × 10 -3 g | |
| numero di molecole presenti nel granello | n°molecole = N × massagranello/M(NaCl) |
| n°molecole = 6,02252 × 10 23 × 2,165 × 10 -3 / 58,4428 | |
| n°molecole = 2,2310 × 10 19 | |
| numero di atomi presenti nel granello | n°atomi = n°molecole × 2 |
| n°atomi = 2,2310 × 10 19 × 2 | |
| n°atomi = 4,4620 × 10 19 |
Calcolo della lunghezza della fila di atomi del granello:
| distanza interatomica | di = ri(Na) + ri(Cl) |
| di = 0,97 × 10 –10 m + 1,81 × 10 -10 m | |
| di = 2,78 × 10 -10 m | |
| Lunghezza della collana | L = di × n°atomi |
| L = 2,78 × 10 -10 m ´ 4,4620 × 10 19 | |
| L = 12,40 × 10 9 m | |
| L = 12,40 × 10 6 km |
SOLUZIONE N° 2
Considerando gli atomi come delle sfere, poichè ne conosciamo il diametro, è possibile determinare per via geometrica quante di queste sfere siano contenute in un volume di 1 mm3.
Nei cristalli di sale, gli atomi occupano i nodi di una maglia cubica. Facciamo l'ipotesi che gli atomi siano tutti della stessa dimensione. In realtà l'atomo di cloro ha il diametro doppio di quello del sodio, ma ciò non influenza il risultato. Infatti, dal momento che la distanza interatomica resta la stessa, i nodi del reticolo cristallino non variano nè di posizione nè di numero.
Per applicare questo metodo, facciamo l'ipotesi che gli atomi siano del diametro D = 0,1 mm. In questo caso, la quantità di atomi presenti sarebbe pari a: 10 x 10 x 10 = 1000 e la lunghezza della fila sarebbe pari a 1000 x 0,1 = 100 mm.
Da questa considerazione possiamo ricavare la seguente formula:
L = lc/D × lc/D × lc/D × D
Da cui otteniamo: L = lc3/D2
dove lc è la lunghezza del lato del cubo e D è il diametro medio degli atomi ed è anche la distanza interatomica. Potete ottenere il diametro medio degli atomi dalla somma dei rispettivi raggi ionici. La frazione lc/D esprime la quantità di atomi presenti lungo un lato del cubo. Quindi, in modo molto semplice, sostituendo D con la distanza interatomica degli atomi nel sale ed esprimendo tutte le dimensioni in mm, otteniamo:
| Lunghezza della collana | L = lc3/di2 |
| L = 1/(2,78 × 10 -7 )2 mm | |
| L = 1,294 × 10 13 mm | |
| L = 12,94 × 10 6 km |
I dati che abbiamo utilizzato per questi calcoli sono di carattere sperimentale e sono affetti da un errore. Poichè in questo secondo calcolo abbiamo impiegato un sottoinsieme dei dati del precedente, il valore che abbiamo ottenuto è più preciso.
CONCLUSIONE
La collana di Democrito è lunga circa 12,9 milioni di chilometri! Questa dimensione corrisponde a oltre 33 volte la distanza fra la Terra e la Luna (384.400 km). Non male come collana! Quando Democrito lo dirà a Leucippo lo stupirà sicuramente. E anche noi ne siamo rimasti stupefatti. Stupefatti non solo della lunghezza della collana di Democrito, ma anche e soprattutto della dimensione degli atomi che finora non avevamo mai immaginato essere tanto piccola, per non parlare del numero astronomico di atomi che compongono un granello di sale. La prossima volta che vedrete sulla tovaglia un granello di sale, tenetelo fra le vostre dita e guardatelo per qualche attimo: lo merita!---oOo---
Qualche informazione su Leucippo: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Leucippus.html
Qualche informazione su Democrito: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Democritus.html
La teoria atomica della materia: http://www.neutron.anl.gov/leucippus.htm
Invia i tuoi commenti sull'articolo
